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新高考数学一轮复习
第讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
表面积公式
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积公式
体积
柱体
锥体
台体
球
题型一：空间几何体的结构特征
【典例1-1】有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示；
棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误；
棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误；
正确命题有1个.
故选：B.
【典例1-2】下列说法中，正确的是（????）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【答案】B
【解析】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.
故选：B.
【方法技巧】
空间几何体结构特征的判断技巧
（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（????）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥
B．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
【答案】D
【解析】选项A：以直角三角形的一个直角边所在直线为轴旋转一周所得的
几何体是圆锥.判断错误；
选项B：由正四棱锥定义可得以正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥.判断错误；
选项C：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台.判断错误；
选项D：用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.判断正确.
故选：D
题型二：直观图
【典例2-1】如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（???）
A．
B．
C．四边形的周长为
D．四边形的面积为
【答案】D
【解析】如图可知，
四边形的周长为，四边形的面积为.
故选:D.
【典例2-2】由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是.
??
【答案】
【解析】过点作轴，交轴于点，如图，
在′中，,
，，
由正弦定理得，
于是得,
由斜二测画法规则知，
在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是.
故答案为：.
【方法技巧】
斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：．
【变式2-1】如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为．
【答案】
【解析】由题意可得，又，所以.
故答案为：.
题型三：最短路径问题
【典例3-1】在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则的周长的最小值为.
【答案】
【解析】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得，
则周长的最小值即的最小值.
将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，
将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，
过点作⊥于点，则，其中，
如图②，则，
故的周长的最小值为.
故答案为：
【方法技巧】
此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题．
【变式3-1】已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为．
【答案】
【解析】由题意知，在几何体内部，但在面内，
把面沿展开与在一个平面上如图，连接，
则的长度即为的最小值，
因为在直三棱柱中，平面，
而平面，则，
因为，则，即，
又平面，则平面，
而平面，所以，即，
因为，易知，所以
所以，
而，，
所以在中，，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【变式3-2