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新高考数学一轮复习
第讲点、线、面的位置关系及线面平行
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
【典例1-1】如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．
??
证明：直线MQ，，NP相交于同一点．
【解析】证明：在正四棱台中，因为，，，，
所以四边形，均为梯形，则直线MQ与必相交，NP与必相交．
延长MQ，，NP，设MQ的延长线与的延长线交于点E，NP的延长线与的延长线交于点F．
在正四棱台中，，，
则，，
得，所以点E，F重合，
即直线MQ，，NP相交于同一点．
【方法技巧】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式1-1】在直三棱柱中，，侧棱长为3，侧面积为.
??
(1)求三棱锥的体积;
(2)若点D、E分别在三棱柱的棱上，且，线段的延长线与平面交于三点，证明：共线.
【解析】（1）由题意知，
所以该三棱柱的侧面积为，
又，直三棱柱中，
且平面，
所以平面，
又，所以平面，
故三棱锥的体积为；
（2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以平面，
又平面，所以平面，
而平面，平面平面，
所以，即共线.
题型二：异面直线的判定
【典例2-1】已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（???）
A．存在点，使得； B．存在点，使得；
C．直线始终与直线异面； D．直线始终与直线异面.
【答案】C
【解析】在正方体中，可得，
又由平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
由点在直线上，为线段的中点，
当点和重合时，可得平面，所以，所以A正确；
连接，如图所示，
当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确；
因为平面，当点和点重合时，平面，
则直线和在同一平面内，所以C错误；
由平面，平面，且，
所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确.
故选：C.
【方法技巧】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式2-1】在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
【答案】D
【解析】如图，在底面半径为1的圆柱中，母线，，是的中点，则，
因为是的中点，又，则，
，，
，
在中，是的中点，是的中点，，
与是共面直线，
若AC与EF是共面直线，则在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线
故选：D．
题型三：异面直线所成的角
【典例3-1】已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，则，取的中点，连接，则，
所以（或其补角）为直线与所成的角，
又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为，
又，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：C
【典例3-2】已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（????）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【解析】如图：
通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,,
而的角平分线与a和b的所成角为，
的角平分线与a和b的所成角为，
因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条，
其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件，
当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.
故选：C.
【典例3-3】已知矩形中，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，在矩形中，是边的中点，
故，故，
又，故，所以，
则，故．
如图2，将沿折起，点的对应点为，在翻折过程中，当与垂直时，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面，平面平面，
所以平面，
连接，因为，
所以或其补角即为异面直线和所成角，
因为，所以，
故，则，又，
故，即所求角的余弦值为，
故选：D．
【方法技巧】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模