专题41直线与圆锥曲线的位置关系
（1）了解圆锥曲线的简单应用.
（2）理解数形结合的思想.
一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C,C，已知它们的方程为C:f(x,y)0,C:g(x,y)0，
1212
f(x,y)0
?
求曲线C,C的交点坐标，即求方程组?的实数解.
12
g(x,y)0
?
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线l:Ax?By?C0，圆锥曲线C:f(x,y)0，把二者方程联立得到方程组，消去y(x)得到一
个关于x(y)的方程ax2?bx?c0(ay2?by?c0).
（1）当a?0时，
??0?方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
?0?方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
??0?方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当a0时，方程为一次方程，若b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若b0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
???
（）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离
1.
?
（）直线与双曲线有两个交点相交
2.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直
线与双曲线的渐近线平行.
?
直线与双曲线没有交点相离.
?
（）直线与抛物线有两个交点相交
3.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直
线与抛物线的对称轴平行或重合.
?
直线与抛物线没有交点相离.
二、圆锥曲线中弦的相关问题
1．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x,y),B(x,y)两个不同的点，
1122
2221
则弦长AB＝(x?x)?(y?y)1?k