专题27基本不等式
a?b
基本不等式：?ab(a?0,b?0)
2
（1）了解基本不等式的证明过程.
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
一、基本不等式
a?b
1．基本不等式：ab?
2
（1）基本不等式成立的条件：a?0,b?0.
（2）等号成立的条件，当且仅当ab时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a?b
设a?0,b?0，则a、b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数
2
的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，x＋y有最小值是2P.(简记：积定和最小)
P2
（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4
4．常用结论
22
（1）a?b?2ab(a,b?R)
ba
（2）??2(a,b同号)
ab
a?b2
（3）ab?()(a,b?R)
2
22
a?b2a?b
（4）()?(a,b?R)
22
222
（5）2(a?b)?(a?b)(a,b?R)
222
a?b(a?b)
（6）??ab(a,b?R)
24
22
a?ba?b2
（7）??ab?(a?0,b?0)
2211
?
ab
二、基本不等式在实际中的应用
1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
b
2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及yax?(a?0,
x
b?0)等．
解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．
考向一利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的常用技巧：
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变
形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项
对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情
况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项
目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本
不等式得出最值．
③配——配式配系数
有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合