专题12导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函
数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函
数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a，b)内：
（1）如果f?(x)?0，函数f(x)在这个区间内单调递增;
（2）如果f?(x)?0，函数f(x)在这个区间内单调递减;
（3）如果f?(x)0，函数f(x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内，?(?)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
f(x)?0f(x)?0
要条件.例如，函数f(x)x3在定义域(??,??)上是增函数，但f?(x)3x2?0.
f?(x)?0f?(x)?0f?(x)
（3）函数f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且
在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f?(x)0，不影响函数f(x)
在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数yf(x)，
（1）若在点xa处有f′(a)0，且在点xa附近的左侧f(x)?0，右侧f(x)?0，则称xa为f(x)的
极小值点，f(a)叫做函数f(x)的极小值.
（2）若在点xb处有f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)?0，右侧f(x)?0，则称xb为f(x)
的极大值点，f(b)叫做函数f(x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我
们有如下结论：一般地，如果在区间[a,b]上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
??
最大值与最小值.
设函数fx在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求fx在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为：
????
（1）求fx在(a,b)内的极值；
??
（2）将函数fx的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
??f(a)f(b)
个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言；
（2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或
者没有）；
（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（）对于可导函数，函数的最大小值必在极大小值点或区间端点处取得
4()().
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数
最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：