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2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
二项式定理
一、单选题
1．（2024北京海淀高二下期末）设，若，则（????）
A．80 B．40 C． D．
2．（2024北京海淀高二下期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（????）
A．0 B． C． D．
3．（2024北京房山高二下期末）在的展开式中，的系数是（????）
A． B． C． D．
4．（2024北京怀柔高二下期末）在二项式的展开式中，常数项为（????）
A．20 B． C．80 D．
5．（2024北京东城高二下期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（????）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
6．（2024北京延庆高二下期末）在的展开式中，常数项为（????）
A． B．15 C．30 D．360
7．（2024北京通州高二下期末）在的展开式中，的系数为（????）
A． B． C． D．
8．（2024北京大兴高二下期末）在的展开式中，常数项为（????）
A．15 B． C．30 D．
二、填空题
9．（2024北京海淀高二下期末）的展开式中含项的系数为．
10．（2024北京房山高二下期末）若，则；.
11．（2024北京第二中学高二下期末）在二项式的展开式中，含的项的系数是．
12．（2024北京怀柔高二下期末）若，则=.
13．（2024北京东城高二下期末）已知二项式的所有项的系数和为，则；.
14．（2024北京朝阳高二下期末）在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则；常数项为.（用数字作答）
15．（2024北京大兴高二下期末）展开式中各项的系数和为．
16．（2024北京第十二中学高二下期末）若的展开式中的系数为15，则实数．
17．（2024北京石景山高二下期末）在的展开式中，的系数为．
18．（2024北京丰台高二下期末）的展开式中的常数项为．
19．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）在的二项展开式中，常数项为160，则的值为.
三、解答题
20．（2024北京顺义高二下期末）已知的展开式中，各项的系数之和为729.
(1)求的值；
(2)判断展开式中是否存在含的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由.
21．（2024北京大兴高二下期末）已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：
(1)求的值；
(2)设，求展开式中所有奇数项的系数和．
条件①：只有第项的二项式系数最大；
条件②：第项与第项的二项式系数相等；
条件③：所有二项式系数的和为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．C
【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出.
【详解】令，则可得，
又，则，
又为的系数，且，
因此.
故选：C.
2．B
【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得.
【详解】的展开式中所有二项式的系数和为.
故选：B.
3．B
【分析】写出二项展开式的通项，利用赋值法可得特定项系数.
【详解】由已知可得展开式的通项，
令，解得，
所以，系数为，
故选：B.
4．D
【分析】利用二项式的通项解决问题.
【详解】二项式的通项为
，
要使其为常数，则，即，
故常数项为.
故选：D
5．D
【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得.
【详解】
则能被整除，
故除以余数为，
所以除以余数为，
由，所以，，
，，
故选：D.
6．B
【分析】先求出的展开式的通项，令，求出代入通项即可求出答案.
【详解】的展开式的通项为：，
令，解得：，
所以常数项为：.
故选：B.
7．D
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.
【详解】因为的通项公式为，
令得，所以的系数为.
故选：D.
8．A
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.
【详解】，
令，得，
所以常数项是.
故选：A
9．
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为，，
所以，所以展开式中含项的系数为.
故答案为：
10．1-8
【分析】利用赋值法，令可得，由通项分别求出可得结果.
【详解】由题意知，令可得，即，
由二项展开式的通项可得，
，即，
，即，
即