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2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
导数在研究函数中的应用（解答题）
一、解答题
1．（2024北京海淀高二下期末）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求的值.
2．（2024北京东城高二下期末）设函数，其中.曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)求的单调区间.
3．（2024北京海淀高二下期末）已知函数．
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)求在上的零点个数．
4．（2024北京丰台高二下期末）已知函数（）．
(1)若在区间上单调递减，求的取值范围；
(2)当时，求证：．
5．（2024北京通州高二下期末）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)求的单调区间；
(3)写出的零点个数（直接写出结果）．
6．（2024北京房山高二下期末）已知函数
(1)求函数的极值点；
(2)若的极小值为，求函数在上的最大值．
7．（2024北京丰台高二下期末）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值．
8．（2024北京石景山高二下期末）已知函数.
(1)求证：当时，；
(2)当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.
9．（2024北京海淀高二下期末）已知
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点，且满足，求的值；
(3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．
10．（2024北京房山高二下期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对于任意的，有，求的取值范围.
11．（2024北京通州高二下期末）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程；
(2)定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数．
①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由；
②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围．
12．（2024北京石景山高二下期末）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若对都有恒成立，求实数的取值范围．
13．（2024北京顺义高二下期末）已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)当时，求在区间上的最大值.
14．（2024北京西城高二下期末）函数，其中．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在区间[0，3]上有两个零点，求m的取值范围．
15．（2024北京昌平高二下期末）设函数.
(1)若，求曲线y=fx在点处的切线方程；
(2)若在处取得极小值，求实数的取值范围；
(3)若对任意的x∈R，恒成立，直接写出实数的范围.
16．（2024北京顺义高二下期末）已知函数，设.
(1)若，求的单调区间；
(2)若在区间上存在极小值m，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
17．（2024北京怀柔高二下期末）已知函数，其中
(1)求函数的单调区间；
(2)当曲线在点处的切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围．
18．（2024北京怀柔高二下期末）设函数，
(1)求曲线y=在点（0，）处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值；
(3)若方程在有三个不同的根，求的取值范围．
19．（2024北京昌平高二下期末）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
20．（2024北京东城高二下期末）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意，有恒成立，求的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）.
21．（2024北京第二中学高二下期末）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极大值为，求的值；
(3)当时，若，使得，求的取值范围．
22．（2024北京西城高二下期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计）
(1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；
(2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
23．（2024北京朝阳高二下期末）已知函数，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数的极小值为，求a的值.
24．（2024北京大兴高二下期末）已知函数，．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)已知，当，试比较与的大小，并说明理由．
25．（2024北京延庆高二下期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上存在极值，求实数的取值范围；
(3)求的零点个数．
26．（2024北京西城高二下期末）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的