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2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
等差数列（人教B版）
一、单选题
1．（2024北京顺义高二下期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（????）
A． B． C． D．
2．（2024北京西城高二下期末）在等差数列中，，，则（????）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．（2024北京房山高二下期末）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（???）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
二、填空题
4．（2024北京海淀高二下期末）已知数列满足，，设，则；的最小值为.
5．（2024北京怀柔高二下期末）已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是．(填写所有正确选项的序号)
①当时，数列的前n项和；
②若数列是单调递增数列，则；
③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；
④若恒成立，则．
6．（2024北京怀柔高二下期末）已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最大值为．
7．（2024北京昌平高二下期末）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”．现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为.
8．（2024北京昌平高二下期末）已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为.
给出下列四个结论：
①；
②；
③使成立的的最大值为4048；
④当时，取得最小值.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题
9．（2024北京石景山高二下期末）已知等差数列的前n项和为，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：数列的前n项和．
条件①，条件②，条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
10．（2024北京顺义高二下期末）若数列满足，则称为数列．记.
(1)若数列满足，直接写出所能取到的最大值和最小值；
(2)若数列满足，求证：存在，使得；
(3)若数列满足，求所能取到的最大值（结果用含的代数式表示）.
11．（2024北京西城高二下期末）设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，．
(1)写出所有满足条件的数列和，使得数列；
(2)若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值；
(3)若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值．
参考答案
1．C
【分析】法一：由基本量法求出公差d和首项，再由等差数列前项和公式可得结论．法二：利用等差数列的性质即可整体代入求和.
【详解】法一：
设等差数列的公差为d，
因为，，所以，
解得，所以.
法二：
因为在等差数列中，，
所以.
故选：C
2．C
【分析】根据等差数列基本量运算即可.
【详解】因为
所以.
故选：C.
3．D
【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.
【详解】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
4．
【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值.
【详解】由，得，而，则，
因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，
，所以当时，取得最小值.
故答案为：；
5．①④
【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】对于①，当时，，所以，
所以
，所以①正确，
对于②，若数列是单调递增数列，则，即，
所以，所以，
因为，所以，所以②错误，
对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误，
对于④，由，得，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，所以，所以④正确.
故答案为：①④
6．16
【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.
【详解】设等差数列的公差为，则
，解得，
所以，，
当时，的最大值为,
故答案为：，16.
7．59
【分析】被2除余1且被3除余2的数构成公差为6的等差数列，由此即可得．
【详解】依题意，设a满足被2除余1且被3除余2，
则a加上2和3的最小公倍数6的整数倍后也能满足被2除余1且被3除余2．
设被2除余1且被3除余2的数由小到大排列而成的数列为，
由于被2除余1且被3除余2的最小正整数为5，
则是首项为5，公差为6的等