第6章函数主要内容6.1函数的概念6.2复合函数与逆函数6.3基数的概念6.4基数的比较6.1函数的概念定义6.1.1函数一种特殊的关系亦称映射或变换设A和B是非空集合,f是一个从A到B的关系，如果对于每一个a∈A，均存在唯一的b∈B，使得a,b∈f，则称关系f是由A到B的一个函数。记作f:A→B。特殊地，当A=B时，称f是A上的函数。x,y∈f通常记作f(x)=y例：判断以下关系是否为函数例：IA
?a∈A,IA(a)=a例6.1.3设E是全集，A?E，那么A的特征函数ΧA是E到{0,1}的函数： ?a∈E，例设E=｛a,b,c,d｝,A=｛b,d｝ΧA：E→｛0,1｝ ΧA={a,0,b,1,c,0,d,1}设A和B是全集E的任意两个子集,对所有x∈E,下列关系式成立：?x(ΧA(x)=0)?A=Φ?x(ΧA(x)=1)?A=E?x(ΧA(x)≤ΧB(x))?A?B?x(ΧA(x)=ΧB(x))?A=BΧ~A(x)=1－ΧA(x)ΧA∩B(x)=ΧA(x)ΧB(x)ΧA∪B(x)=ΧA(x)+ΧB(x)－ΧA∩B(x)ΧA－B(x)=ΧA∩~B(x)=ΧA(x)－ΧA∩B(x)函数的定义域和值域设f:X→YX——f的前域(定义域domf)Y——f的陪域(值域ranf?Y)f(x)=yx——函数的自变元y——自变元x的函数值，也称为x的像domf=Xranf=f(X)如果f(x)=y1和f(x)=y2,那么y1=y2设f:X→YX’?Xf(X’)={y|?x(x∈X’∧f(x)=y)}?Y称f(X’)为X’的像(X’中各元素的像之集)称X’为f(X’)的原像例f:N→N,f(x)=2x.若A’=Ev={0,2,4,6,…}则：f(A’)={0,4,8,12,…}若B’={2,6,10,14,…},则：B’的原像={1,3,5,7,…}=Od像(image)与原像(preimage)特别注意f(X’)={y|?x(x∈X’∧f(x)=y)}不能简单地写为：f(X’)={f(x)|x∈X’}设f(x)=x2，X’={1}，则有-1?X’但f(-1)∈f(X’)这与指定原理相背×例假定f:｛a,b,c,d｝→｛1,2,3,4｝f(｛a｝)=｛1｝;f(｛a,b｝)=｛1,3｝;f(｛a,b,c｝)=｛1,3｝;ranf=f(｛a,b,c,d｝)=｛1,3,4｝;定义6.1.2设f:X→Y,g:W→Z,如果X=W,Y=Z,且对每一x∈X有f(x)=g(x)则称f=g。函数相等的定义和关系相等的定义一致必须有相同的前域与陪域且每一点的函数值相同例f:I→I,f(x)=x2g:｛1,2,3｝→I,g(x)=x2是两个不同的函数通常用BA表示从集合A到集合B的所有函数的集合,读作B上A： BA={f|f:A→B}设｜A｜=m,｜B｜=n，共有多少个A到B的函数？ ｜BA｜=nm例：设A＝{a,b,c}，B＝{0,1}。则共有８个A到B的函数(它们分别是A的８个子集的特征函数)，它们是f1＝{a,0,b,0,c,0}f2＝{a,0,b,0,c,1}f3＝{a,0,b,1,c,0}f4＝{a,0,b,1,c,1}f5＝{a,1,b,0,c,0}f6＝{a,1,b,0,c,1}f7＝{a,1,b,1,c,0}f8＝{a,1,b,1,c,1}函数是特殊的关系，故也可用关系图或关系矩阵来表示函数例：集合A＝{1,2,3,4}上的函数f＝{1,2,2,3,3,4,4,1}特殊函数类函数的性质满射、入射和双射定义6.1.3设f是从X到Y的函数如果x≠x’蕴含着f(x)≠f(x’)(即f(x)=f(x’),那么x=x’),那么f是入射(injection,单射，内射，一对一的，1-1)如果f(X)=Y,即对于每一个y∈Y，均存在x∈X，使得f(x)=y,那么f是满射(surjection,映上的,onto)如果f既是满射又是入射，那么f是双射(bijection，或：1-1,onto)双射常称作一一对应，又称集合同构(setisomorphism)考察以下关系bijectionbijectionRelationRelationMa