****第4章二元关系与函数4.1集合的笛卡儿积与二元关系4.2关系的运算4.3关系的性质4.4关系的闭包4.5等价关系和偏序关系4.6函数的定义和性质4.7函数的复合和反函数*4.1集合的笛卡儿积和二元关系有序对笛卡儿积及性质二元关系的定义二元关系的表示*有序对定义由两个元素x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作x,y 实例：点的直角坐标(3,?4)有序对性质有序性x,y?y,x（当x?y时）x,y与u,v相等的充分必要条件：x,y=u,v?x=u?y=v例12,x+5=3y?4,y，求x,y.解:依有序对性质有：3y?4=2,x+5=y?y=2,x=?3*有序n元组定义一个有序n(n?3)元组x1,x2,…,xn是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即x1,x2,…,xn=x1,x2,…,xn-1,xn（当n=1时,x形式上可以看成有序1元组.）实例：n维向量是有序n元组.*笛卡儿积定义设A,B为集合，由A与B产生的有序对集：{x,y|x?A?y?B}，称为A与B的笛卡儿积，记作A?B例2设A={1,2,3},B={a,b,c}A?B={1,a,1,b,1,c,2,a,2,b,2,c,3,a,3,b,3,c}B?A={a,1,b,1,c,1,a,2,b,2,c,2,a,3,b,3,c,3}若A={?},P(A)?A={?,?,{?},?}显然：若|A|=m，|B|=n，则|A?B|=mn*笛卡儿积的性质若A或B中有一个为空集，则A?B就是空集. A??=??B=?一般不满足交换律A?B?B?A(A?B,A??,B??)一般不满足结合律(A?B)?C?A?(B?C)(A,B,C非空)满足对并、交、差、对称差运算的分配律（可用谓词逻辑证明）A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (B?C)?A=(B?A)?(C?A)A?(B?C)=(A?B)?(A?C)(B?C)?A=(B?A)?(C?A)A?(B-C)=(A?B)-(A?C) (B-C)?A=(B?A)-(C?A)A?(B⊕C)=(A?B)⊕(A?C)(B⊕C)?A=(B?A)⊕(C?A)*证明A?(B-C)=(A?B)-(A?C)证任取x,yx,y∈A×(B-C)?x∈A∧y∈B-C?x∈A∧y∈B∧y?C?(x∈A∧y∈B∧y?C)∨(x∈A∧y∈B∧x?A)?(x∈A∧y∈B)∧(y?C∨x?A)?(x∈A∧y∈B)∧﹁(x∈A∧y∈C)?x,y∈(A×B)∧x,y?(A×C)x,y∈(A×B)-(A×C)所以，A×(B-C)=(A×B)-(A×C)*例题解(1)任取x,yx,y?A?C?x?A?y?C?x?B?y?D?x,y?B?D例3(1)证明A=B?C=D?A?C=B?D(2)A?C=B?D是否推出A=B?C=D?为什么？(2)不一定.反例如下： A={1}，B={2},C=D=?,则A?C=B?D=? 但是A?B.*二元关系的定义二元关系：空集，或者元素均为有序对的集合，称为二元关系，简称为关系，记作R.如x,y∈R,可记作xRy；如果x,y?R,则记作xy例如：R={1,2,a,b},S={1,2,a,b}.此时R是二元关系；对于S，当a,b不代表有序对时，S不是二元关系；根据上面的记法，可以写1R2,aRb,ac等.*从A到B的关系与A上的关系从A到B的二元关系：设A,B为集合,由