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绵阳南山中学2025年春季高二下半期考试试题
数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页，答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将准考证号准确填涂在“考号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知数列的前n项和为，若，则（）
A. B. C. D.
2.若函数在处可导，则（）
A. B. C. D.
3.已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（）
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）
A.曲线在点处的切线斜率小于零
B.函数在区间上单调递增
C.函数处取得极大值
D.函数在区间上单调递减
5.等比数列的前项和为，且，，则（）
A. B. C. D.
6.函数在处有极值为7，则
A.-3或3 B.3或-9 C.3 D.-3
7.南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（）
A.735 B.733 C.731 D.729
8.已知函数．若对任意，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选得0分.
9.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（）
A.
B
C.数列是等比数列
D.数列的前项和为
11.定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上.
12.已知是公差不为的等差数列，且，，成等比数列，则该等比数列的公比为________.
13.若函数在内有最小值，则实数的取值范围是________.
14.已知数列的前n项和为，，且，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在数列中，
（1）求的值；
（2）求数列通项公式
16.已知函数.
（1）过点作曲线的切线，求此切线的方程；
（2）若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.
17.记为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18.已知函数，.
（1）讨论单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.
参考数据：.
19.若数列满足，，.
（1）比较与的大小；
（2）求证：；
（3）求证：时，.