高2023级高二下期第二次月考
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、顿号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时．选出每小题答案后，逗号用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后．在选图其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知数列，则是该数列的（）
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
2.已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（）
A. B.
C D.
3.记等比数列的前项和为，若，则公比（）
A. B. C.或1 D.或1
4.下列结论正确的是（）
A. B.
C.若，则 D.若，则
5.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
6.图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
7.在等差数列中，，，设，则（）
A281 B.651 C.701 D.791
8.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）
A.2520种 B.3360种 C.3570种 D.4410种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（）
A.函数在区间上单调递增 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极大值
10.若函数既有极大值也有极小值，则（）．
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列选项正确的是（）
A.在上单调递减
B.恰有一个极大值
C.当时，有三个零点
D.当时，有三个实数解
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.曲线过坐标原点两条切线的方程为____________，____________．
13.将5个人排成一排，若甲和乙须排在一起，则有__________种不同的排法．（用数字作答）
14.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
15.已知数列的首项，且满足（）
（1）求证：数列为等比数列；求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和．
16.已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，记，求数列的前项的和．
17.已知一企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润年销售收入-年总成本）
18.已知函数（）.
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）当时，设极大值为，求证：.
19.英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为：，，为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．
（1）若，利用泰勒展开式证明：；
（2）当时，证明：；
（3）当时，不等式恒成立，求实数取值范围．