青岛实验高中2024—2025学年度第二学期
第三学段质量检测
高二数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为()
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为，
∴．
方法二：由题可知，服从超几何分布，故．
故选：D．
2.已知函数，则（）
A.1 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解.
【详解】由于函数，则其导函数为：，
代入，可得：，解得：，所以，
所以.
故选：D
3.井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（）
A.144 B.120 C.96 D.90
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步原理，先确定赢方的棋子分布情况，再确定输方的棋子分布情况.
【详解】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明赢方的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三种，斜两种），
棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放输方的白棋，共有种．
故此时棋子的分布情况共有种.
故选：
4.的展开式中的系数为（）
A. B. C. D.24
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理计算展开式中的系数即可.
【详解】原式，因展开式中没有项，
展开式中项为，
所以的展开式中的系数为.
故选：A
5.某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（）
附：
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A.60 B.65 C.70 D.75
【答案】C
【解析】
【分析】设男生总人数为，写出列联表，根据题意列出卡方不等式即可求解.
【详解】设男生总人数为，依题意可得列联表如下：
每周平均体育运动时间超过4小时的人数
每周平均体育运动时间不超过4小时
合计
男生人数
女生人数
合计
若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，
则，
解得，则被抽取男生人数至少为70人.
故选：C.
6.已知随机变量.若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项分布的概率公式探讨的取值，再将等价为求解即得.
【详解】由，则，
，
且，
构造函数，其导函数为，
由于，，故函数在区间上单调递增；
当时，取最小值；当时，函数值为；
所以；
故选：B.
7.已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性并求解不等式.
【详解】令函数，由，得，
又，求导得，
函数R上单调递增，不等式，
解得，所以不等式的解集为.
故选：A
8现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（）
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同