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宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试
数学试卷
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数在处可导，且，则（）
A. B. C. D.2
2.若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知数列满足，若，则（）
A.28 B.13 C.18 D.20
4.在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（）
A. B. C. D.
5.在等比数列中，，是函数的极值点，则（）
A.3 B. C. D.4
6.已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（）
A B.
C D.
7.已知函数图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（）
A. B. C. D.
8.已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
二?选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（）
A.若数列为等差数列，则是等差数列
B.若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C.若数列为等比数列，且，，则
D.若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
10.已知函数，则下列结论正确的是（）
A.函数存在两个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.当时，方程有且只有两个实根
D.若时，，则t的最小值为2
11.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（）
A.数列为等比数列 B.数列为等差数列
C. D.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.记为等差数列的前项和，若，则______________.
13.若不等式有解，则实数取值范围为___________.
14.已知数列满足，，则______.
四?解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.）
15.在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16.已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值.
17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.已知函数.
（1）求函数的单调区间.
（2）当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值.
19.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
（1）判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
（2）已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
（3）若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.