高二数学联考试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1.设等差数列前项和为，若，则（）
A.12 B.18 C.24 D.36
2.已知函数是定义在上函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是（）
A. B. C. D.
3.数列中，，且对任意都有，若，则（）
A. B. C. D.
4.已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
5.设函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
6.已知，，，则（）
A. B. C. D.
7.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
8.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9.设正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，并且满足，，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C.最大值为 D.没有最大值
10.朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（）（参考公式：）
A.是等差数列
B.
C.函数单调递增
D.原书中该“堆垛问题”的结果为15180
11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）
A.有对称轴
B.的弦长的最大值为
C.对内任意一点，均存在过且平分围成区域的面积的直线
D.的面积大于
三、填空题
12.在等比数列中，，，则_________．
13.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是________.
14.若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则__________，设，数列的前项和为，则__________.
四、解答题：本大题共5道大题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列前项和.
16.已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
17.2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
（1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（ⅰ）多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列．
（2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？
18.已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若有极值，求实数的取值范围；
（3）设，若，求的最大值.
19.泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．
（1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；
（2）当时，比较与大小，并证明；
（3）设，证明：．