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无锡市青山高级中学
2025年春学期高二数学期中考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若，则（）
A.2 B.4 C.2或4 D.2或3
【答案】D
【解析】
【分析】根据组合数公式的性质求解即可.
【详解】因为，所以或，解得或.
故选：D.
2.已知随机变量服从正态分布，则（）
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态曲线的对称性计算即可求解.
【详解】由题意得，
由正态曲线的对称性知，
所以．
故选：C
3.在的展开式中，的系数是（）
A. B. C.20 D.80
【答案】D
【解析】
【分析】先求出展开式中的通项，再求出值即可．
【详解】展开式中的通项公式为：
，
令，则，
展开式中的系数为，
故选：D．
4.2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析“莎头”组合以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，利用二项分布的概率公式计算可得.
【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，
所以“莎头”组合再次以获胜的概率.
故选：B
5.已知函数的导函数为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果.
【详解】由可得，
令可得，即.
故选：D
6.甲?乙?丙?丁?戊?己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲?乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（）种.
A.144 B.156 C.168 D.192
【答案】C
【解析】
【分析】分丙排第一名和不是第一名讨论，结合捆绑法进行求解.
【详解】依题意，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
当丙是第一名时，则第二名肯定是乙，则共有种不同名次排列情况；
当丙不是第一名时，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相邻，
则共有种不同名次排列情况，
故共有种不同名次排列情况.
故选：C
7.已知函数，若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将问题转化为在上恒成立，然后分离参数，转化为，然后求导即可得到其最小值，从而得到结果.
【详解】由可得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，即，
令，则，
当时，，则单调递增，
所以，
所以，即.
故选：D
8.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（）
A.93 B.120 C.210 D.300
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，从而求得小球落入第三个格子的概率，再计算均值即可》
【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，
所以，
又1024个小球落入第三个格子的球数，
所以，即落入第三个格子的球数均值为120.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有项选错得0分．
9.已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列结论正确的是（）
-2
1
3
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分布列的性质求得，再依次计算期望、方差、概率.
【详解】对于，由分布列的性质可得，解得，故错误；
对于，故B正确；
对于
，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记“男生甲被选中”，“男生乙和女生丙至少一个被选