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2024-2025学年度春学期期中联考试卷
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列求导数运算正确的是（）
A. B.
C. D.
2.某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（）
A.13种 B.7种 C.种 D.42种
3.已知的一个极值点为2，则实数（）
A2 B.3 C.4 D.5
4.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（）
A.0.9163 B.0.0081
C.0.0756 D.0.9919
5若，则（）
A. B. C.1 D.2
6.如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（）
A.12 B.18 C.24 D.30
7.若直线与曲线相切，则最小值为（）
A.4 B.1 C. D.2
8.已知函数的定义域为，为的导函数，函数的图像如下图所示，且，，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是
B.数据5，8，10，12，13的第百分位数是8
C.已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8
D.若随机变量服从正态分布，，则
10.下列说法正确的是（）
A.随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布.
B.有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布.
C.有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
D.某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布.
11.已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（）
A. B.当时，
C. D.不等式解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.被8整除的余数为______.
13.现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1～6），连续投掷两次，记分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量，则的值为________.
14.设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．若为上的“凸函数”，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数，其图象在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值．
16.在的展开式中，求：
（1）求常数项、及此项的二项式系数；
（2）求奇数项的二项式系数的和；
（3）求系数绝对值最大的项．
17.某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为rm，高为hm的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：）
（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值．
18.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为．
（1）若比赛为三局两胜制：
（i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望；
（ii）求乙最终获胜的概率；
（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
19.已知函数．
（1）当时，求单调区间与极值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，设，证明：在上存在唯一极小值点，且．(参考数据：)