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淮安市高中校协作体2024～2025学年度第二学期高二年级期中联考
数学试卷
考试时间：120分钟总分：150分
一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）
1.如图，空间四边形OABC中，，，，且，，则等于（）
A. B. C. D.
2.设，则（）
A.2 B. C. D.0
3已知随机变量，若，则（）
A. B. C. D.
4.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）.
A.9 B.10 C.11 D.12
5.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.
A.18 B.15 C.12 D.9
6.关于空间向量，以下说法正确是（）
A.若空间向量，则在的投影向量为
B.若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
D.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
7.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（）
A.72 B.96 C.108 D.156
8.已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（）
A.若与关于平面对称，则
B.若，则A，B，C，D共面
C.若，则A，B，C，D共面
D.若三点共线，则
10.下列等式正确的是（）
A. B.
C. D.
11.若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C.若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D.若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）
12.在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______
13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______
14.已知两个随机事件，若，，，则______________.
四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分）
15.2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看．
（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？
（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16.如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
17.二项式展开式前三项二项式系数和为22.
（1）求的值；
（2）求展开式中各项的二项式系数和；
（3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
18.为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
编号
位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1
（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
（2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；
（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这