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湖南省普通高中学业水平合格性考试（三）
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名，准考证号，考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸，试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整，笔迹清晰，卡面清洁．
姓名______准考证号______座位号______
湖南省普通高中学业水平合格性考试（三）
数学
时量：90分钟满分：100分
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
2.在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（）
A. B. C. D.
3.已知函数的最小正周期为，则为（）
A1 B.2 C.3 D.4
4.半径为2，圆心角为1弧度的扇形的面积是（）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.（）
A. B. C. D.1
6.不等式的解集为（）
A.或 B.
C.或 D.
7.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
8.函数的定义域是（）
A.且 B. C. D.且
9.下列函数在其定义域内单调递减是（）
A. B.
C. D.
10.数据的方差是5，则数据的方差是（）
A.9 B.10 C.19 D.20
11.若与互为相反数，则（）
A. B. C. D.
12.若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（）
A.有且只有一条 B.有无数条
C.有且只有两条 D.不存在
13.树人中学七年级有500人?八年级有600人?九年级400人，为了解该校“双减”政策落实情况?按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为150的样本.则八年级应抽取的人数为（）
A.30 B.40 C.50 D.60
14.已知，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
15.在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（）
A.直线AB与AC异面 B.直线AC与相交
C直线与AC异面 D.直线与相交
16.在如图所示并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（）
A.0.42 B.0.88 C.0.7 D.0.6
17.已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，
19.已知复数为纯虚数，则______．
20.函数的图象恒过定点__________.
21.在中，内角A，B，C的对边分别为，则______
22.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为．估计该样本数据的第60百分位数是______．
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
23.在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球．
（1）请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；
（2）求“第一次取出的是红球”的概率；
（3）求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率．
24.如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为．
（1）求证：平面PAD；
（2）求四棱锥体积．
25.已知函数．
（1）求m的值；
（2）用定义法证明：函数在上是减函数；
（3）若在上有两个不同的实根，求实数a的取值范围．