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宜昌市部分省级示范高中2025春季学期高一年级
期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式化简运算即可.
【详解】.
故选：A.
2.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数单调性求集合B，再结合Venn图运算求解即可.
【详解】因为，且
图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
3.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合中间值，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】依题意，，
因此实数的大小关系是.
故选：B
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】先用余弦定理代换后得到，利用勾股定理，即可判断.
【详解】由余弦定理得：，则，所以，由此知△ABC为直角三角形.
故选：B
5.下列各式的值为的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的正切公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，
，A不满足；
对于B选项，，B不满足；
对于C选项，
，C满足；
对于D选项，，D不满足.
故选：C.
6.如图，在四边形中，，，设，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：C.
7.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
因为，，故，
所以，函数不是奇函数，A不满足；
对于B选项，对于函数，由可得，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，故函数为奇函数，
因为内层函数在上单调递减，
外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足；
对于C选项，函数的定义域为，，
故函数为偶函数，C不满足；
对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
因为，
内层函数为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，在定义域上为增函数，D满足.
故选：D.
8.已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简得出，由计算得出，根据已知条件得出，解出的范围，再对整数赋值可得结果.
【详解】因为，
因为且，则，
因函数在上无零点，故，
所以，，解得，
由，解得，
，当时，可得，当时，可得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列结论正确的是（）
A.若、可以作为基底，则
B.若，则
C.若在上的投影向量为，则
D.若与的夹角为，则或
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项.
【详解】已知向量，，易知、均为非零向量，
对于A选项，若、可以作为基底，则、不共线，可得，解得，所以A对；
对于B选项，，则，解得或，所以B错；
对于C选项，在上的投影向量为，
即，解得，所以C对；
对于D选项，因为与的夹角为，则，
即，整理可得，解得或，所以D对.
故选：ACD.
10.函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（）
A.函数的最小正周期是
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】求出点的坐标，可得出函数的最小正周期，可判断A选项；求出、的值，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点，
结合图形可知