2024—2025学年度下学期2023级
5月月考数学试卷
一、单选题
1.展开式中的常数项为（）
A10 B. C.80 D.
2.某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于110分的人数为200，则此次考试数学成绩高于90分的人数约为（）
A.700 B.800 C.900 D.950
3.记为等比数列的前n项和.若，，则（）
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A2 B.0 C. D.
5.公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（）
A B. C. D.
6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
7.设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（）
A. B.2 C. D.
8.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（）
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知等差数列的前项和为，若，且对于任意正整数都有，则（）
A.
B.是公差为的等差数列
C.
D.，
10.现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）
A.若自由放置，共有3125种不同的放法
B.恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C.每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种
D.将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
11.设函数，则（）
A.的单调递增区间为，
B.有三个零点
C.若关于x的方程有四个不同实根，则
D.若对于恒成立，则
三、填空题
12.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为______.
13.已知函数在上存在零点，则实数的最小值为______．
14.现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作，即，则______，数列的通项公式______．
四、解答题
15.已知函数（）．
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）讨论单调性．
16.已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
（1）从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；
（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．
17.对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”．
（1）若，求的值．
（2）设．
①求的通项公式；
②若数列满足，且的前n项和为，证明：．
18.已知椭圆C：（）的左焦点为，点在椭圆C上，且轴.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.
19.已知函数.
（1）当时，，求取值范围；
（2）函数有两个不同的极值点（其中），证明：；
（3）求证：.