2024—2025学年度下学期2023级
5月月考数学试卷
一、单选题
1.展开式中的常数项为（）
A.10 B. C.80 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先写出二项式的通项，再令的指数为，求出，代入通项即可得出结果.
【详解】展开式的通项为，.
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
故选：D.
2.某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于110分的人数为200，则此次考试数学成绩高于90分的人数约为（）
A.700 B.800 C.900 D.950
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性确定数学成绩不高于90分的人数，即可得.
【详解】由题知，和关于100对称，
故此次考试数学成绩不高于90分人数等于不低于110分的人数为200，
故此次考试数学成绩高于90分的人数约为．
故选：B
3.记为等比数列的前n项和.若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合等比数列通项公式求，结合等比数列求和公式运算求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，解得，
所以.
故选：B.
4.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A.2 B.0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可.
【详解】因为，则，，
又因为直线的斜率为1，
由题意可得，解得.
故选：D.
5.公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据概率乘法公式，可得答案.
【详解】由题意可得每个人在某个站下车的概率为，则恰有两人在第站下车的概率为.
故选：D.
6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先构造函数，再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小.
【详解】设，
所以单调递增；单调递减；
所以.
故选：A
7.设，是双曲线C：（，）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（）
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为，由勾股定理可得，根据，利用余弦定理可得，再结合已知条件即可求解.
【详解】
设双曲线的一条渐近线为，即，
点到渐近线的距离为，
所以，
在中，，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
整理可得，所以.
故选：.
8.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式运算求解即可.
【详解】甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种；
同理，乙从N到达M处的方法有种；
甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走，
乙到处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走，
所以，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；
故甲、乙两人相遇的概率.
故选：C.
二、多选题
9.已知等差数列的前项和为，若，且对于任意正整数都有，则（）
A.
B.是公差为的等差数列
C.
D.，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式、性质逐一判断故选项.
【详解】因为数列为等差数列，，由得数列的前项的和最小，根据等差数列的性质，可得：
数列为递增数列，且，，，.
对A：，故A正确；
对B：因为，所以，所以是公差为的等差数列，故B正确；
对C：因为，故C正确；
对D：若，则，，则不存在，使得，故D错误.
故选：ABC.
10.现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）
A.