宾县一中2024级高一下学期第二次月考
数学试卷
2025.05.09
一?单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在中，角所对边分别为，且，（）
A. B.或 C. D.或
2.已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（）
A. B. C. D.
3.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）
A.若，，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
4.使复数为纯虚数的最小自然数是（）
A. B. C. D.
5.已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（）
A. B. C. D.
6.已知向量，向量满足，则的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（）
A B.
C. D.
8.如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（）
A. B. C. D.
二?多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（）
A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限
C. D.
10.已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（）
A.若，则为钝角三角形
B.在锐角中，不等式恒成立
C.若，则的面积为
D.若，且有两解，则的取值范围是
11.某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（）
A.该圆锥母线与底面所成角的正弦值为
B.若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为
C.若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D.若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为
三?填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知一个圆台的上下底面半径分别为和，且它的侧面展开图扇环的面积为，则这个圆台的体积为______．
13.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为__________.
14.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________.
四?解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.
（1）求A；
（2）若，求的面积.
16.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.
（1）求与平面所成的角；
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出值；若不存在，说明理由.
17.如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作．
（1）求码头B和甲船位置E处相距多少海里．
（2）若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间，
18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，证明：；
（3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．
19.在锐角中，记内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．
（1）若，求的值；
（2）在（1）条件下，求的最小值；
（3）若，求取值范围．