河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025学年高二下期05月测试（一）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是
A.-1 B.1 C. D.
3.已知向量，，且，则（）
A. B. C. D.
4.有男?女教师各1人，男?女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（）
A.10种 B.12种 C.15种 D.20种
5.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（）
A B. C. D.
6.设X，Y为随机变量，且，则（）
A.9 B.8 C.5 D.4
7.下列说法不正确的是（）
A.在回归直线方程中，y与x具有负线性相关关系
B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越大
C.随机变量X服从正态分布，若，则
D.已知随机变量X服从二项分布，若，，则
8.已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9.已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
10.某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（）
A. B. C. D.
11.下列说法中正确的是（）
A.将6个相同小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法
B.被7除后的余数为5
C若，则
D.抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆内的次数的均值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的有理项共有__________项．
13.已知圆和圆相切，则_________
14.数列综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知抛物线的准线方程为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值.
16.如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且
（1）求三棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值.
17.已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18.众所周知，乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，包括进攻、对抗和防守.某学校为了丰富学生的课后活动内容，增强学生体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(用x=1表示第1个星期，用x=2表示第二个星期，以此类推)参加活动的累计人数y(人)的统计数据.
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
14
20
37
74
108
203
（1）根据表中数据可以判断y与x大致满足回归模型，试建立y与x的回归方程（精确到0.01）；
（2）为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学身高情况.采用按比例分层抽样抽取了男生30人，其身高的平均数和方差分别为171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均数和方差分别为161.5和27.0，试求全体学生身高的平均数和方差.
参考数据：，其中；
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
19.已知函数．
（1）讨论函数的单调性;
（2）若函数有两个零点，求证：．