濮阳市一高高一年级（2024级）下学期第三次质量检测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
2.已知向量，若，则（）
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3.在中，，则（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
4.已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（）
A.若，，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解.
【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误.
对于B，若，则或，故B错误.
对于C，，过作平面，使得，
因为，故，而，故，故，故C正确.
对于D，若，则，故D错误.
故选：C.
5.在中，若，且，那么一定是（）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D
6.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（）
A. B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
故选：B.
7.在四面体中，平面，四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，借助线面垂直的判定性质确定球心的位置，求出球半径，再利用球的体积公式求解.
【详解】在四面体中，由平面，平面，得，
而，平面，则平面，
又平面，于是，又，取中点，连接，
因此，即点为四面体外接球球心，重合，
，球的半径，
所以球的体积为.
故选：A
8.在中，，，，为线段上的动点（不包括端点），且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，，根据题意得，
解得，，，，
，
又、、三点共线，，
，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键是由已知条件求出后，再由三点共线，得，所以化简后结合基本不等式可求出其最小值，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分．
9.已知、都是复数，下列正确的是（）
A.若，则
B.
C.若，则
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）
A.若，则一定为锐角三角形
B.若，则是锐角三角形
C.若，则
D.若，，，则有两解
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A选项，利用三角形的内角和定理和两角和的正切公式即可判断；
对于B选项，利用向量的数量积的定义即可判断