顶兴高级中学春季学期高二年级第一次月考卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（）
A. B.
C D.
3.已知复数，则（）
A.1 B. C. D.
4.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（）
A. B. C. D.
5.已知，则的最小值是（）
A. B. C. D.
6.“或”是“幂函数为偶函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知等差数列的前项和为，若，则（）
A.20 B.16 C.7 D.2
8.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组互不相等的样本数据从小到大依次为，且这组数据的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是（）
A.数据的中位数是
B.数据的分位数是
C.数据的平均数是
D.数据的标准差是
10.下列求导结果正确的是（）
A. B.
C. D.
11.已知点及圆，点是圆上动点，则（）
A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为
B.过点作圆的切线，则切线方程为
C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为
D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则________.
13.已知，，且，则向量的夹角为______．
14.已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点（异于点）在上，且，则取最小值时，直线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数．
（1）求曲线在点处切线的方程；
（2）求函数的极值．
16.已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17.如图，在直三棱柱中，为中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18.已知双曲线的离心率是，焦距为6．
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程．
19.对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数.
（1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）；
（2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的；
（3）求证：