2024-2025学年度高二年级下学期5月段考
数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将学校?班级?姓名?考号填写在答题卡上.
2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效.
一?单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题，则命题的否定为（）
A. B.
C. D.
2.已知向量，，若，则的值为（）
A. B. C. D.10
3.若椭圆的离心率为，则（）
A. B.4 C. D.2
4.球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（????）
A.9倍 B.18倍 C.27倍 D.81倍
5设集合，若，则实数必满足（）
A. B.
C. D.
6.如图，一个质点在随机外力作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为（）
A. B. C. D.
7.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学?复旦大学?武汉大学?中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（）
A.24种 B.60种 C.96种 D.240种
8.设函数，若恒成立，则的最小值为（）
A. B. C. D.1
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知数列的前项和为，，，则（）
A.数列是等比数列
B.
C.
D.数列的前项和为
10.已知，则下列结论正确的是（）
A.的单调递增区间为
B.在区间上的值域为
C.若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
D.若在区间上恰有两个零点，则取值范围是
11.在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（）
A.若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值
B.沿正方体的表面从点到点的最短距离为
C.若平面与正方体各个面所在平面所成的角分别为，则
D.三棱锥外接球的半径为
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知等差数列的前项和为，，，则______．
13.若函数与直线相切，则实数的值为__________.
14.祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线：，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形（如图1），则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为__________；由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体（如图2），则的体积为__________.
四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且．
（1）证明：；
（2）若，边上的高为，求．
16.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，为的中点.
（1）证明:平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.已知抛物线的焦点为，点在直线上，过焦点作一条直线交于两点.
（1）求抛物线方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.
18.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.
参考数据：.
19.一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；
（2）求证：，均为等比数列；
（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？