深圳实验学校高中园与惠东高级中学
2024-2025学年度第二学期第二阶段联考试卷（数学）
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.化简所得的结果是（）
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则x＝（）.
A.8 B.2 C.4 D.
3.已知复数z满足（i是虚数单位），则（）
A.1 B. C.2 D.
4.若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
5.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）
A. B. C. D.
6.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（）
A. B.
C D.
7.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西，楼顶C的仰角为，则超然楼的高度（单位：米）为（）
A26 B. C.52 D.
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错得0分.
9.已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（）
A. B.
C.与可以作为一组基底 D.向量在向量上的投影向量为
10.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是（）
A.该圆锥体积为 B.该圆锥的侧面积为
C. D.的面积为
11.八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是（）
A.
B.∠EAD=30°
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知分别为三个内角的对边，且，则______.
13.已知单位向量满足，则与的夹角为__________.
14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知向量满足．
（1）求向量的数量积；
（2）求向量夹角余弦值；
（3）求的值．
16.如图，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5.
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为30°，求三棱柱的体积.
17.在锐角中，角所对边分别为，且的面积.
（1）求角A；
（2）若，求取值范围.
18.如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.
19.法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，