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鹤华中学2024-2025学年度第二学期期中考试
数学（高二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（）
A.1 B.2 C.3 D.2或3
2.下列求导运算中正确的是（）
A. B.
C D.
3.的展开式中的系数为（）
A. B. C.64 D.124
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）
A.函数在上单调递减
B.是函数的极小值点
C.是函数的极大值点
D.是函数的极大值
5.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（）
A. B. C. D.
7.某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（）
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（）
A. B.的前项和为
C.前100项和为100 D.的前10项和为
10.已知，展开式中所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（）
A. B.此二项式系数最大项为第4项
C. D.
11.对于函数，下列说法正确的有（）
A.在处取得极大值 B.在处的切线方程为
C.有两个不同的零点 D.若在上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列满足，则__________.
13.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数，当时取极小值，当时取极大值.
（1）求a，b的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
16.北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求：
（1）甲测试合格的概率；
（2）甲答对试题数X的分布列.
17.记数列的前项和为，已知.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和为.
18.已知函数.
（1）讨论单调性；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
19.人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
（i）求选到的袋子为甲袋的概率；
（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.