三明一中2024-2025学年下学期半期考
高二数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1.已知随机变量服从两点分布，且，则（）
A. B. C. D.
2.设随机变量，若，则（）
A1 B.2 C.3 D.4
3.若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.在展开式中，的系数为（）
A.405 B.270 C.150 D.90
5.已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出概率为（）
A. B. C. D.
6.某科技公司使用新开发人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（）
A0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
7.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）
A.函数的最大值为1 B.函数的最小值为1
C.函数的最大值为1 D.函数的最小值为1
8.已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知离散型随机变量，满足，其中分布列为：
0
1
2
且，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（）（参考数据：若，则，）
A.，
B.
C.
D.对于任意的正数，恒有PX≥t
11.已知函数在处取得极值，且在上单调，则下列结论中正确的是（）
A.的取值范围是
B.不可能有两个零点
C.若在上有最小值，则的取值范围是
D.当时，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量X服从二项分布，则______.
13.若，则__________.
14.在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．若是旋转函数，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的展开式中第7项为常数项．
（1）求的值；
（2）从展开式中的所有项中任取两项，求取出的两项都是有理项的概率．
16.现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球．
（1）若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？
17.甲参加某多轮趣味游戏，在A，B两个不透明的盒内摸球，规定在一轮游戏中甲先在A盒内随机取出1个小球放入B盒，再在B盒内随机取出2个小球．若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如下表（小球除颜色外大小质地完全相同）：
红球
蓝球
白球
A盒
2
2
1
B盒
2
2
1
（1）求在一轮游戏中甲从A，B两盒内取出的小球均为白球的概率：
（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从B盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从B盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从B盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分．
（i）记甲在一轮游戏中的得分为X，求X的分布列：
(ii）在的条件下，从A盒取出放入B盒的球最有可能是什么颜色？
18.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
（1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①求；
②当时，恒成立，求的取值范围．
19.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在，使