三明一中2024-2025学年下学期半期考
高二数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1.已知随机变量服从两点分布，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列的性质可求.
【详解】因为服从两点分布，故，
故选：A.
2.设随机变量，若，则（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为Pξ1
所以，
所以，
故选：B
3.若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式系数定义以及二项式系数的和解方程可得结果.
【详解】易知所有二项式系数的和为，
解得.
故选：B
4.在展开式中，的系数为（）
A.405 B.270 C.150 D.90
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项即可求得结果.
【详解】易知展开式中含的项为，
所以的系数为.
故选：D
5.已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式进行计算.
【详解】设第一次取到白球为事件，则，
设第二次取到白球为事件，则，
所以.
故选：B
6.某科技公司使用新开发人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（）
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求解.
【详解】依题意，，则，解得或，
由全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，得，即，则，
所以.
故选：A
7.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）
A.函数最大值为1 B.函数的最小值为1
C.函数的最大值为1 D.函数的最小值为1
【答案】C
【解析】
【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到的单调性，得到C正确，D错误．
【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，
故恒成立，
故在R上单调递增，则A，B显然错误；
对于C，D，，
由图像可知时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，且，C正确，D错误．
故选：C
8.已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递减，在区间单调递增，分和两种情况，利用单调性即可求得不等式的解集．
【详解】令，则，
因为当时，，
所以，当时，，即在区间单调递减；
又是定义在上的偶函数，
所以是上的偶函数，
所以在区间单调递增；
又，
当时，由，得，
即，所以；
当时，由，得，
即，所以，
综上，不等式的解集是，
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
0
1
2
且，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用分布列性质以及期望值列方程组可得，,即A正确，B错误，再利用方差公式计算可得C错误，结合方差性质可计算D正确.
【详解】根据分布列性质以及可得，
解得，，可知A正确，B错误；
所以，即C错误；
则，即D正确.
故选：AD
10.已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（）（参考数据：若，则，）
A.，
B.
C
D.对于任意的正数，恒有
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误.
【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故，