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2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟期中联考
高中二年级数学试卷
完卷时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.）
1.若，则（）
A.9 B.8 C.7 D.6
2.等比数列的前n项和，则（）.
A. B. C. D.
3.已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
4.函数，是的导函数，则的大致图象是（）
A B.
C. D.
5.某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（）种不同的选法.
A. B. C. D.
6.函数与函数公切线的斜率为（???）
A.或 B. C.或 D.或
7.甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（）
A.36种 B.42种 C.54种 D.72种
8.分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（）
A. B. C.4 D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的不得分.）
9.设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（）
A.的离心率为
B.的周长为5
C.的最大值为3
D.的最小值为8
10.若，则下列说法中正确的有（）
A.
B
C.
D.
11.若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数（），（），，（e为自然对数的底数），则（）
A.在内单调递减
B.和之间存在“隔离直线”，且b最小值为
C.和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D.和之间存在唯一的“隔离直线”，方程为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.展开式中的系数为________．
13.已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______.
14.已知分别为双曲线左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和
16.已知函数，其中.
（1）若曲线在点处切线垂直于直线，求a的值；
（2）讨论函数的单调性.
17.如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，
①求平面与平面所成角的余弦值；
②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.已知数列满足：，正项数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）记为数列的前项积，证明：
19.已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）若，求证：．