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合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第二学期期中联考
高二年级数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.如图是函数的导函数的部分图象，则的一个极大值点为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据极大值点的定义结合图象判断即可.
【详解】极大值点处导数为0，且在该点左侧附近导数值为正，在该点右侧附近导数值为负，选项中只有符合.
故选：B.
2.若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可.
【详解】由，
因为函数在区间内单调递增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因为，所以由，
因为，所以，于是有，
故选：D
3.展开式的常数项为（）
A.20 B.90 C.40 D.120
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为．
故选：A．
4.现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）
A.420 B.340 C.260 D.120
【答案】A
【解析】
【分析】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数.
【详解】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种，
若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种，
同理同色、不同色也有120种，
若的颜色互不相同，则有种，
综上，共有种.
故选：A
5.已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短.
【详解】令，
因，则，
故曲线和直线无交点，
，则，令，解得，
则曲线上的点到直线的距离，
则的最小值为.
故选：A
6.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，由此确定的大小，
设，利用导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
设，则，
所以在上单调递增，
则，则,
所以，即,
所以.
故选：C
7.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
8.若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数求出两个函数的某点上的切线方程，再根据公切线列方程得到，应用导数求右侧值域，即可得答案．
【详解】设公切线与曲线与的交点分别为，，其中，
对于，得，则与相切的切线方程为，即，
对于，得，则与相切的切线方程为，即，
由公切线，得，，有，，
令，则，令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减.
所以，故，即.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据排列数的计算公式即可判断A；根据组合数的计算公式即可判断BCD．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，
，
所以，故D正确；
故选：ABD．
10.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有，，，，，，共7个节目，则下列结论正确的是（）
A.若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法
B.若节目与节目不相邻，则共有30