2024-2025学年扬州市邗江区高二数学下学期5月份七校联考模拟练习卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：导数、空间向量与立体几何、计数原理、概率。
5．难度系数：0.7。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知，向量，，，若，则（????）
A． B． C． D．
3．已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（????）
A． B． C． D．
4．已知随机变量的分布列为，则（???）
A． B． C． D．
5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（????）
A．B．C．D．
6．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（???）
A．B．C．D．
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（????）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2025
8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（???）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（???）
A．
B．
C．
D．
10．设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（???）
A． B． C． D．与相互独立
11．如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（????）
A．平面
B．存在点，满足平面
C．当且仅当时，取得最小值
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则．
13．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则.
14．英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有种（用数字作答）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
16．将6个不同的小球放入编号分别为的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）
(1)求共有多少种不同放法；
(2)当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；
(3)当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；
(4)若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？
17．在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为.
(1)求比赛4局