2024-2025学年扬州市邗江区高二数学下学期5月份七校联考模拟练习卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：导数、空间向量与立体几何、计数原理、概率。
5．难度系数：0.7。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】因为，所以，所以或（舍去）．
故选：B.
2．已知，向量，，，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，解得，，
则，．
故选:A．
3．已知某班级中，喜欢科幻小说的学生占，喜欢科幻小说且喜欢推理小说的学生占，若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢科幻小说的条件下，该学生也喜欢推理小说的概率为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，从这个班级的学生中任意抽取一人，
记事件“抽到的学生喜欢科幻小说”，“抽到的学生喜欢推理小说”，
则，，
故．
故选：D．
4．已知随机变量的分布列为，则（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由分布列的性质可得，解得，
所以，
故.
故选：D.
5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（????）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】由求导可得，
根据题意，在区间上单调递增，则在上恒成立，
即，分离参数可得，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，故实数的取值范围是.
故选：D.
6．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（???）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，
由图形可得，
所以
，
所以.
故选：B
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（????）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2025
【答案】A
【详解】因为
所以被10除得的余数为0，
而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5，
故的值可以是2020.
故选：A.
8．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，则，即，
，则，
设，则，
所以在单调递增，又，
所以存在，使得，即；
，则，即，
综上所述，，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（???）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，令，得，
两边同乘以，得，故A正确；
对于B，令，得，
令，得，
两式相减，得，
即，故B正确；
对于C，两边同时求导数，
得，
再令，得，故C错误；
对于D，，所以，
同理，
所以，故D正确.
故选:ABD.
10．设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以，和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（???）
A． B． C． D．与相互独立
【答案】AC
【详解】，
选项A正确.
，
故选项C正确。
计算：
，选项B错误.
又，选项D错误.
故选：AC.
11．如图，在正方体中，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（????）
A．平面
B．存在点，满足平面
C．当且仅当时，取得最小值
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ACD
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，，
则，
，
对于A，，
则，
所以，
又平面，
所以平面，故A正确；
对于B，，
设平面的法向量为，
则有，
取，则，
若平面，则，解得，
又因为，
所以不存在点，满足平面，故B错误；
对于C，，
则，
可看作点到点与到点的距离之和，
点关于轴的对称点，
则当三点共线时，点到点与到点的距离之和最小，
即点到点与到点的距离之和最小，
，
因为，所以，解得，
所以当时，取得最小值，
此时，即，故C正确；
对