2024-2025学年度天水市第一中学第二学期第三阶段测试（5月月考）
高一数学
考试范围：必修一-必修二第八章《立体几何初步》；考试时间：120分钟（+30分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一．单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（????）
A．当时，随着的增大而增大
B．当时，随着的增大而减小
C．当时，随着的增大而减小
D．当时，随着的增大而增大
2．已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x?y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（????）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
3．已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（????）
A． B． C． D．
4．△ABC的周长为18，若，则△ABC的内切圆半径的最大值为（???）
A．1 B． C．2 D．4
若，则下列说法正确的是（????）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
6．已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时,的最大值为()
A． B． C．8 D．
7．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（????）
A．
B．
C．
D．
8．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（???）
A．是的一个周期 B．是奇函数
C．是偶函数 D．
10．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（????）
A．△ABC面积的最大值为 B．的最大值为
C． D．的取值范围为
11．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（????）
A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．三棱锥中，顶点P在平面ABC的射影为O，满足，A点在侧面PBC上的射影H是的垂心，，此三棱锥体积的最大值是.
13．已知△ABC的内角，，所对的边分别为，，，其中，，，则能覆盖△ABC的正方形的最小边长为．
14．若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为．
四、解答题：请提供第15题13分，第16和第17题各15分，第18题和第19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、过程或演算步骤.
15．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
16．在直三棱柱中，，，，点是平面上的动点．
(1)若点在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；
(2)若点在线段上，求的最小值；
(3)若点在线段上，