《2024-2025学年度天水市第一中学第二学期第三阶段测试（5月月考）》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
A
B
B
C
C
A
ABD
AB
ABD
1．D
【知识点】求异面直线所成的角
【分析】分和两种情况，分别过作的平行线，可得直线与所作的平行线成的角即为角可得答案.
【详解】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，
设正四面体的棱长为3，则，
可求得，
所以在中，有，
令，则，
时，有正有负，函数有增有减，
所以故A与B错误；
当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.
同样设正四面体的棱长为3，则，
可求得，
,
在中，有，
所以，即，
所以在中，有，
令，则，
所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D正确，C错误.
故选：D.
2．C
【知识点】向量与几何最值、余弦定理及辨析、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论
【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.
3．A
【知识点】用向量解决线段的长度问题、向量在几何中的其他应用
【分析】分析题目条件，得到，画出草图，利用等和线得到，过O点,C点分别向AB做垂线，得到两个相似比为1比3的直角三角形，设出∠CAB=θ，然后利用角表示边，通过勾股定理得到角的大小，从而得到边长的大小，进而求出的大小
【详解】解析：作，，，由题意，
设直线与直线交于点，
∵（，），
∴点在线段上（不含端点）
又，结合等和线性质，可知
作于，于，
有，
记
①当点在线段上时，，
由，得，可解得，进而有
此时，，
（注：点为线段的中点，在线段上，符合题意）
可得，所以
②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，.
故选：A
4．B
【知识点】几何图形中的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】利用三角恒等变换得到，，作出图形，设出边长，△ABC的内切圆半径为，得到等量关系，利用基本不等式求出答案.
【详解】由题意得，
因为，
所以，
即，
即，故，
又，
分子分母同除以可得，
，
如下图，的内切圆圆心为，且圆与相切于点，与相切于点，
设的内切圆半径为，，
显然，，
故，即，
，整理可得，，
将代入中得，，
因为，
即，
所以，
故，解得，，
则，当且仅当时，等号成立，
故△ABC的内切圆半径的最大值为.
故选：B
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
5．B
【知识点】三角函数图象的综合应用、求零点的和、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题
【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误；
利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确；
首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，
数形结合得到，无解，C错误；
D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.
【详解】，.
，.
对于A，，
为的周期，A错误；
对于B，的对称轴方程为.
（）.即（）.B正确.
对于C，对，有，
∵在上单调递增，
，
（，2），等价于有两个解，
当时，，显然无解，
不妨设，画出在的图象，如图所示：
.
或.无解.故C错误；
对于D，的根为与交点横坐标.
有奇数个交点，
，
且，，，，，
，，，，
D错误.
故选：B.
【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.
6．C
【知识点】向量与几