江苏省梅村高级中学2024-2025学年春学期期中质量检测
高一数学
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）
A和 B.和
C.和 D.和
2.已知中，点在的延长线上，且满足，则（）
A. B.
C. D.
3.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）
A2 B.8 C.9 D.18
4.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）
A.1 B. C. D.3
5.已知是外心，，，则向量在向量上的投影向量为（）
A B. C. D.
6.若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（）
A.且方向相同 B.，方向可能不同
C.与不平行 D.与不一定平行
7.已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（）
A. B. C. D.
8.已知的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（）
A.当时，为纯虚数
B.满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
C.的虚部为
D.若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为
10.如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（）
A.与是异面直线； B.、、相交于一点；
C.； D.平面.
11.设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（）
A.若，则；
B.若，则；
C.若，则；
D.若，则为等腰三角形．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量，则与向量垂直的单位向量为__________．
13.在中，，F为线段上的一点，则的取值范围为__________．
14.已知点O为的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则_______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若在第四象限，求m的范围.
16.已知向量．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角是钝角，求x的取值范围．
17.在中，．
（1）若的面积为，求；
（2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
18.如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
19.已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．
（1）设点为线段上靠近的三等分点，，求的值；
（2）如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，，
①当时，求的值（用含，的式子表示）；
②当，时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：，）．