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2024—2025学年莆田十二中高二年级下学期期中考试卷
数学试题
满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（）
A.0 B.1 C. D.3
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（）
A. B.
C. D.
3.设是函数的导函数，若函数在开区间内可导，则“在内恒小于零”是“在内为减函数”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知曲线在点处的切线方程为，则（）
A.－1 B.－2 C.－3 D.0
5.函数在区间上最小值是（）
A B. C. D.
6.在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是
A. B. C. D.
7.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（）
A. B. C.2 D.
8.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（）
A B. C. D.
10.在正方体中，分别为棱的中点，则（）
A. B.四点共面
C.平面 D.平面
11.已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（）
A.已知，，则
B.已知，，其中，则当且仅当时，向量夹角取得最小值
C.已知，，则
D.已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.《九章算术》中“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则____________.
13.已知函数，其导函数为，则的值为______
14.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直．
（1）求向量的坐标；
（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
16.如图，在平行六面体中，，，
（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
17.已知函数.
（1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
18.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
19.如图，矩形中，，，E为的中点，将沿翻折，得到四棱锥.
（1）证明：；
（2）在①直线与平面所成角为，②若交于O，的面积为，③到平面的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：已知______，求锐二面角的余弦值.