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2024—2025学年莆田十二中高二年级下学期期中考试卷
数学试题
满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（）
A.0 B.1 C. D.3
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】因为直线过点和两点，所以，
又直线的一个方向向量，所以，
所以，所以，
所以，解得，所以
故选：D
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.
【详解】A选项：，所以A错；
B选项：，所以B错；
C选项：原式可整理为，所以C正确；
D选项：原式可整理为，，故D错.
故选：C.
3.设是函数的导函数，若函数在开区间内可导，则“在内恒小于零”是“在内为减函数”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数与函数的单调性的关系判断即可.
【详解】当在内恒小于零时，即，
则在内为减函数，即充分性成立；
令，易知在内为减函数，
而在上有，
故在内不恒小于零，即必要性不成立；
所以“在内恒小于零”是“在内为减函数”的充分非必要条.
故选：A.
4.已知曲线在点处的切线方程为，则（）
A.－1 B.－2 C.－3 D.0
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得.
【详解】由题意可得，
根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；
所以切点为，代入切线方程可得，解得.
故选：C
5.函数在区间上的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究函数区间单调性，进而求其最小值即可.
【详解】由，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以.
故选：D
6.在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面PAB的距离．
【详解】三棱锥中，底面ABC，，，，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则4，，4，，0，，
0，，
4，，0，，
4，，
设平面PAB的法向量y，，
则，
取，得，
点C到平面PAB的距离．
故选B．
【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，，设，，
，即，
，当且仅当时取等号，所以，故选A．
【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
8.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】，
若在上不单调，令，
对称轴方程为，则函数与
轴在上有交点．当时，显然不成立；
当时，有解得或．
四个选项中的范围，只有为的真子集，
∴在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由导函数大于0