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2024-2025学年第二学期期中质量调研
高二数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设是实数，已知，若，则的值为（）
A. B. C.3 D.6
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标运算求解答案.
【详解】因为，
所以使得即
即即
故选：B.
2.曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】由，得，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：B.
3.在三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，，借助空间向量数量积与模长的关系及向量夹角计算公式计算即可得.
【详解】如图，设，，，三棱柱的棱长均为1，
则，，，
，
又，
，
则，
故异面直线与所成角的正弦值为.
故选：D.
4.盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解.
【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，
则，
所以.
故选：C.
5.在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且法向量为的平面的方程为.已知在空间直角坐标系中，经过点的直线的方程为，经过点的平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题目定义得到直线的一个方向向量，和平面的法向量，由向量夹角的求解公式得出线面角的正弦值.
【详解】经过点的直线的方程为，即，
则直线的一个方向向量为.
又经过点的平面的方程为，
即，所以的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，则.
故选：A
6.若则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，求导，得出函数的单调性，从而得，再由已知得，两边取自然对数可得选项．
详解】由函数，，
所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
又，与，所以将不等式两边取自然对数得，
故选：A．
【点睛】本题考查构造函数，研究其单调性，得出代数式的大小关系，属于较难题．
7.已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
，，，
故，
，
则
，
因为，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
8.对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分离参数可得，设，，，利用导数求出函数的最大值即可得解.
【详解】由对于任意正实数，都有，
可得，
设，，，
则，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
故时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
故选：B.
二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9.下面四个结论正确的是（）
A.任意向量满足
B.若对空间中任意一点，有，则四点共面
C.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D.已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件
【答案】BC
【解析】
【分析】根据数量积的定义即可判断A；根据空间向量共面定理的推论即可判断B；根据空间向量基本定理即可判断C；根据时，，即可判断D.
【详解】对于A，表示与共线的向量，
表示与共线的向量，
而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误；
对于B，因为，且，
所以四点共面，故B正确；
对于C，是空间的一组基底，若，
当共面时，则，
所以，无解，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，故C正确；
对于D，时，，故D错误.
故选：BC.
10.对于随机事件A，B，若，