赤峰第四中学2024-2025学年度下学期月考试题
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（）
A0 B. C. D.
2.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（）
A.2 B.8 C.9 D.18
3.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（）
A. B. C. D.
4.如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（）
A.相交 B.异面 C.平行 D.无法确定
5.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（）
A. B. C. D.
6.已知函数值域为的值域为，则（）
A.0 B.1 C.3 D.5
7.如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为
A2 B. C. D.
8.已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在四面体中，，，则下列结论正确的有（）
A.四面体的表面积为40
B.四面体的体积为
C.四面体外接球的表面积为
D.记四面体内切球的球心为，则
10.已知平面向量，，则（）
A. B.
C. D.在上的投影向量为
11.已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（）
A. B.
C.向量，在上的投影向量相等 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为______．
13.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
14.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在锐角中，角的对边分别为，，，已知且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
16.已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
（1）求角大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.
17.函数（，，）的部分图象如图所示：
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调区间；
（3）已知，，求．
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
（1）求证：平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P-ABM的体积．
19.设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
（1）若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若对恒成立，求最大值．