赤峰第四中学2024-2025学年度下学期月考试题
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（）
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，利用纯虚数的定义解得参数，再根据复数的乘方计算，结合周期性求值即可.
【详解】由题意可得，
因为是纯虚数，所以，解得.
则，又，，，，
则时，，，，，
即有时，，
故.
故选：B.
2.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（）
A.2 B.8 C.9 D.18
【答案】C
【解析】
【分析】根据三点共线结论知，再利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】因为，三点共线，则，，
则，
当且仅当，结合，即，时等号成立.
故选：C.
3.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象，
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象，
将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象，
由于曲线恰好是函数的图象，故，
由得，
故，
故选：B
4.如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（）
A.相交 B.异面 C.平行 D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案.
【详解】如图，连接，则分别为的中点，
故,
由分别是线段的中点，得，
故,
故选：C
5.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解.
【详解】方法一：在中，，
又，
，
由正弦定理得：，
所以，
所以树的高度为，
方法二：设树高为，则，则，
故选：A.
6.已知函数的值域为的值域为，则（）
A.0 B.1 C.3 D.5
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解．
【详解】因为，所以，
即函数的值域为，所以，
因为的值域为，
所以的最小值为9，所以，解得，
所以．
故选：A．
7.如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得平面平面,根据面面平行的性质即可判断点的轨迹就是线段，进而可求长度.
【详解】取的中点,连接,由于平面,平面,故平面,同理可得平面,,平面，故可得平面平面,点的轨迹就是线段,而线段的长度为，
故选:C.
8.已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围.
【详解】
，
所以当时，取到最大值，
解得，所以.
令，
在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，
，解得
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在四面体中，，，则下列结论正确的有（）
A.四面体的表面积为40
B.四面体的体积为
C.四面体外接球的表面积为
D.记四面体内切球的球心为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用该四面体的几何特征，将四面体补形成长方体，再利用长方体的几何特征求解表面积、体积以及外接球表面积和内切球的问题.
【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为,
,解得，，.
每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确.
体积计算:长方体体积,减去四个三棱锥体积(每个为),
得四面体体积为.选项B错误.
四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确.
因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶