专题10数列的通项与求和
周期数列
1．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知数列满足：且，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到.
【详解】因为，，，
所以，，，
故数列为周期是3的数列，
所以，
故选：B
2．（湖北省襄阳市部分学年高三上学期期中）已知数列满足，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及递推关系，结合数列的周期性即可求解.
【详解】由可知，得
因为,
所以，，，，，
所以是以3为周期的数列，则
故选：A.
3．（2022秋·江苏盐城·高三期中）（多选）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（????）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【答案】AC
【分析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【详解】因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
4．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）已知数列中，，则．
【答案】3
【分析】根据递推公式计算，，，，发现数列的周期为6，然后根据周期求即可.
【详解】由题意得，，，，，，，所以数列的周期为6，.
故答案为：3.
累加累乘法
5．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）已知数列满足，且，若，则正整数k为（????）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】根据递推公式可利用累加法求出与的关系，再由已知可求出的通项公式，
直接代入通项公式即可求出k的值
【详解】由已知可得，，，，左边相加等于右边相加，
整理可得，
又，代入，解得，进而求出，将
直接代入得，则，
故选：C
6．（广东省广州市培英中学2023届高三上学期期中）已知，则（????）
A．506 B．1011 C．2022 D．4044
【答案】D
【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可.
【详解】解：，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
7．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）已知数列，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列中的项的是（????）
A．16 B．128 C．32 D．64
【答案】D
【分析】先用累乘法求出，对四个选项验证得符合题意，即可求解．
【详解】，
当时，．
故选：D．
8．（2022秋·辽宁沈阳·高三统考期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
9．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意可得，由此推得通项公式，再利用裂项相消法求得，从而对各选项进行判断即可.
【详解】根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，因为，，，，且，
所以上述各式相加得，，
经检验：满足，所以，则，故C正确；
对于D，由选项C可知，
所以，故D正确.
故选：BCD.
10．（山东省泰安市新泰市第一中学北年高三上学期期中）已知数列满足，，则的最小值为.
【答案】
【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可．
【详解】，
，
，
，
由累加得
，
所以
，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，且，
或5时最小，
时，；
时，；
所以的最小值为
故答案为：．
待定系数法
11．（广东省华附、省实、广雅、深中2023届高三上学期期中）已知数列中，，则等于（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析得到数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，求出数列的通项即得解.
【详解】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.
故选：C
12．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）若，，则；
【答案】
【分析】设，求出，然后根据等比数列的定义即得.
【详解】解：设，
所以，
，，
所以，
所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
所