关于函数单调性与曲线的凹凸性*第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日*定理1：一、单调性的判别法*第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日*证由Lagrange中值定理可得*第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日*注释1:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．*第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日注释3：函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性.解*第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日*注释3：划分函数单调性的点只可能是导数为零的点及导数不存在的点．*第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日总结：讨论函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；(3)这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论.(4)区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性.例如,*第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日*解:令*第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日*解单调区间为*第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日*证★利用单调性证明不等式*第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日*证*第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日**第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日*“弧在弦下”问题:如何研究曲线的弯曲方向?“弧在弦上”*第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日*拐点：函数图形上凹凸的分界点.1.曲线的凹凸与拐点的定义*第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日*定理22.曲线凹凸性的判定*第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日**第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日解:注释1：在个别二阶导数为0的点，若此点两侧二阶导数不变号，则不改变曲线的凹凸性.*第17页，共28页，星期日，2025年，2月5日*解注意：*第18页，共28页，星期日，2025年，2月5日*解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.*第19页，共28页，星期日，2025年，2月5日*总结：判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：*第20页，共28页，星期日，2025年，2月5日