****************************************在幾何的研究中，我們發現狄拉克在物理上發現的旋子在幾何結構中有魔術性的能力，我們不知道它的內在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結構中的精髓，在應用旋子理論時，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個很微妙的事情，我們製造了曲率而讓曲率自動發酵去證明一些幾何量的不存在，可謂無我之境矣。以前我提出用Einstein結構來證明代數幾何的問題和用調和映射來看研究幾何結構的剛性問題也可作如是觀。卡拉比-丘成桐空间第30页，共53页，星期日，2025年，2月5日六、數學的品評好的工作應當是文已盡而意有餘，大部份數學文章質木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創意的文章，未必為時所好，往往十數年後始見其功。我曾經用一個嶄新的方法去研究調和函數，以後和幾個朋友一同改進了這個方法，成為熱方程的一個重要工具。開始時沒有得到別人的讚賞，直到最近五年大家才領會到它的潛力。然而我們還是鍥而不捨地去研究，覺得意猶未盡。第31页，共53页，星期日，2025年，2月5日白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實建安以後，綺麗為文的作者甚眾。亦自有其佳處，畢竟鍾爃評謝朓詩為中品，以後六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。白居易（公元772）第32页，共53页，星期日，2025年，2月5日數學華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數空間抽象出來的一個重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學有很重要的功用，但是以後很多數學家為了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數學大流上卻未有激起任何波瀾。巴拿赫（公元1892）第33页，共53页，星期日，2025年，2月5日在七十年代，高維拓樸的研究已成強弩之末，作品雖然不少，但真正有價值的不多，有如「野雲孤飛，去留無跡。」文氣已盡，再無新的比興了。當時有拓樸學者做群作用於流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了八零年代，值得懷念的工作只有Bott的局部化定理。Bott（公元1923）第34页，共53页，星期日，2025年，2月5日能經得起時間考驗的工作寥寥無幾，政府評審人材應當以此為首選。歷年來以文章篇數和被引用多寡來做指針，使得國內的數學工作者水準大不如人，不單與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。第35页，共53页，星期日，2025年，2月5日七、數學的演化王國維說：「四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習套。豪傑之士亦難於其中自出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛中衰者，皆由於此，故謂文體後不如前，余未敢言。但就一體論，則此說固無以易也。」第36页，共53页，星期日，2025年，2月5日數學的演化和文學有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進，另一方面是對自然界有進一步的瞭解，將原來所認識的數學結構的美發揮盡至後，需要進入新的境界。江山代有人才，能夠帶領我們進入新的境界的都是好的數學。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與微分幾何、數學物理和算術幾何組合變化，亦可振翼高翔。第37页，共53页，星期日，2025年，2月5日我為了深入瞭解流形的幾何性質，考虑由幾何引出的微分方程。可是一般幾何學家厭惡微分方程，我對它卻情有獨鐘，與幾個朋友合作將非線性方程帶入幾何學，開創了幾何分析這門學問，解決了拓朴學和廣義相對論一些重要問題。第38页，共53页，星期日，2025年，2月5日在一九八一年時我建議我的朋友Hamilton用他創造的方程去解決三維拓樸的基本結構問題，二十多年來他引進了不少重要的工具，運用上述我和李偉光在熱方程的工作，深入地瞭解奇異點的產生。兩年前俄國數學家Perelman更進一步地推廣了這個理論，很可能完成了我的願望，將幾何和三維拓樸帶進了新紀元。Hamilton第39页，共53页，星期日，2025年，2月5日八年前我訪問北京，提出全國向Hamilton先生學習的口號，本來討論班已經進行，卻給一些急功近利的北京學者阻止，在國外也遇到同樣的阻力，中國幾何分析不能進步都是由於年青學者不能夠自由發展思想的緣故。廣州的朱熹平卻鍥而不捨，他的工作