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12.2拉普拉斯反变换

对线性系统而言，响应的象函数F(s)常具有有理分式的形式，它可表示为两个实系数的多项式之比，即

式中，m和n为正整数。若mn，F(s)为有理真分式。对此形式的象函数可以用部分分式展开法(或称展开定理)将其表示为许多简单分式之和的形式。

1.D(s)=0有n个单实根，分别为：s1、s2、…sn,

i=1、2、…、n

由于

故原函数

例

设函数，试求f(t)。

解这里分母多项式有三个单根:s1=0,s2=?1,s3=?2，故F(s)可展开为

各系数为

所以

其反变换为

2.D(s)=0具有共轭复根s1=?+j?，s2=?-j?

例

设象函数，求原函数f(t)。

解本例D(s)=s2+2s+2=0有共轭复根s1、2=?1±j，故F(s)可以展开为

可得

所以反变换

3.D(s)=0具有重根

D(s)=0中在s=s1具有m阶重根的分解式为

其中

式中n=1，2，3，…，m。

拉普拉斯变换对为

例

设象函数，求原函数f(t)。

解对于本例的重根情况，F(s)可展开为

其中

从而有

所以