*等式替换证明X=Y例9证明A?(A?B)=A（吸收律）证(假设交换律、分配律、同一律、零律已得出)A?(A?B)=(A?E)?(A?B)同一律=A?(E?B)分配律=A?(B?E)交换律=A?E零律=A同一律不断进行代入化简，最终得到两边相等*反证法证明X=Y例10证明以下等价条件A?B?A?B=B?A?B=A?A?B=?
(1)(2)(3)(4)证明顺序：(1)?(2),(2)?(3),(3)?(4),(4)?(1)假设X=Y不成立：即存在x使得x?X但x?Y，或者存在x使得x?Y但x?X，然后推出矛盾.*(1)?(2)A?B?A?B=B显然B?A?B，只需证明A?B?B.（命题演绎）任取x，x?A?B?x?A?x?B?x?B?x?B?x?B因此有A?B?B.综上，(1)?(2)得证.(2)?(3)A?B=B?A?B=AA?B=A?(A?B)=A（将B用A?B代入)*(3)?(4)A?B=A?A?B=? (反证)假设A?B??,即?x?A?B，存在某x：x?A但x?B，因而x?A?B=A，矛盾.(4)?(1)A?B=??A?B(反证)假设A?B不成立，即?x(x?A?x?B)??x(x?A?B)?A?B??这与已知A?B=?矛盾.*集合运算法证明X=Y例11证明A?C=B?C?A?C=B?C?A=B证由A?C=B?C和A?C=B?C得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)即，A?C=B?C由A?C=B?C?(A?C)?C=(B?C)?C ?A?(C?C)=B?(C?C) ?A??=B???A=B由已知等式通过集合运算产生新的等式X=Y?X?Z=Y?Z,X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z等*集合的基数与有穷集合包含排斥原理有穷集的计数3.3集合中元素的计数****集合论*集合论部分第3章集合的基本概念和运算第4章二元关系和函数*第3章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合中元素的计数*3.1集合的基本概念集合的定义与表示集合与元素集合之间的关系空集全集幂集集合康托尔（G.Cantor1845-1918)——朴素集合论外延原理（两集合相等当且仅当两者有相同成员）概括原理（任一集合都可概括任意对象使之归入或不归入此集合） ——罗素悖论，第三次数学危机选择原理（任何非空集合都可以选取其中一个元素 ——于数学大多数领域极端重要，但也会导出反常的结论集合论公理化ZFC系统（较抽象）NBG系统（较具体）类、本性类类A是集合当且仅当存在类B使A?B基于逻辑公理及理论（主要是谓词逻辑）**集合定义与表示集合没有精确的数学定义理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表示列举法A={a,b,c,d}——外延法叙述法（谓词表示）B={x|P(x)}——内涵定义B由使得P(x)为真的x构成常用数集N,Z,Q,R,C分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数集合（注意0是自然数）*集合与元素元素与集合的关系：隶属关系属于?，不属于?实例A={x|x?R?x2-1=0},（叙述） A={-1,1}（列举） 1?A,