全国硕士硕士入学统一考试数学二试题
一、填空题：1-６小题，每题4分,共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（1）曲线的水平渐近线方程为
（２)设函数在处持续，则
(3)广义积分
(4）微分方程的通解是
(5)设函数确定,则
(6）设,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则．
二、选择题：9-14小题,每题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在题后的括号内．
(７)设函数具有二阶导数,且为自变量在点处的增量,与分别为在点处对应增量与微分,若，则(）
(A)???(B)
?(C) ??(D)
(8)设是奇函数，除外到处持续，是其第一类间断点,则是()
(Ａ)持续的奇函数 ?(B)持续的偶函数
?（C)在间断的奇函数 (Ｄ)在间断的偶函数
(9)设函数可微，则等于（)
(A) ? (Ｂ)?（C)??(D)
(１0)函数满足的一种微分方程是()
?(A) ? (B)
（C)? （D）
(１１）设为持续函数,则等于()
(A) ? (B)
?（Ｃ)???(D)
（１2)设均为可微函数,且在约束条件下的一种极值点，下列选项对的的是(）
?（A)若(B）若
?(C)若（D)若
(１３)设均为维列向量，是矩阵，下列选项对的的是(）
(A）若线性有关,则线性有关.
（B)若线性有关，则线性无关.
(C)若线性无关,则线性有关.
(D)若线性无关，则线性无关．?
(１４)设为3阶矩阵,将的第２行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则()
(A)? （Ｂ)（C)? (D)
三、解答题：15-2３小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.
(１５)(本题满分1０分)
试确定常数的值,使得，其中是当时比高阶的无穷小.?
(１6)(本题满分10分)
求
(17)(本题满分10分)
设区域，计算二重积分?
(18)(本题满分１2分）
设数列满足,
（I)证明存在,并求该极限;??(II）计算.
（19）(本题满分1０分)
证明：当时，．
（２0)（本题满分12分)
设函数内具有二阶导数，且满足等式
（I)验证 ；(IＩ)若，求函数.
(21)(本题满分12分)
已知曲线的方程
(I)讨论的凹凸性；
(ＩI)过点引的切线，求切点,并写出切线的方程;
(IIＩ)求此切线与(对应的部分)及轴所围成的平面图形的面积.
(22)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组有３个线性无关的解.
(I)证明此方程组系数矩阵的秩;(Ⅱ)求的值及方程组的通解．
(23）(本题满分９分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.
(Ｉ）求的特性值与特性向量;
(II）求正交矩阵和对角矩阵,使得.
全国硕士硕士入学统一考试数学二试题解析
一、填空题
(1)【答案】
【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质-－--“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知
时为无穷小量，,均为有界量．故，是水平渐近线.
(2)【答案】
【详解】按持续性定义，极限值等于函数值,故
注：型未定式,可以采用洛必达法则;等价无穷小量的替代
（3)【答案】
【详解】
(4)【答案】．
【详解】分离变量，
（５）【答案】
【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.
在原方程中令．
将方程两边对求导得，令得
(6)【答案】
【详解】由已知条件变形得,，两边取行列式,得
其中,，
因此，.
二、选择题.
(7)【答案】
【详解】
措施1:图示法.
Ox0x0+Δxxyy=f(x)
Ox0x0+Δxx
y
y=f(x)Δy
dy
结合图形分析,就可以明显得出结论:．
措施２:用两次拉格朗日中值定理
(前两项用拉氏定理）
(再用一次拉氏定理)
,其中
由于，从而.又由于,故选
措施３：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式:
，
其中.此时取1代入,可得
又由,选.
（8)【答案】()
【详解】
措施1：赋值法
特殊选用，满足所有条件,则．
它是持续的偶函数.因此,选（)
措施2：显然在任意区间上可积,于是到处持续，又
即为偶函数.选().
(