第5课时古典概型与事件的相互独立性
[考试要求]1．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．2．能够结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．3．能够结合古典概型，利用独立性计算概率．
考点一古典概型
1．古典概型
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
[典例1](1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()
A．14 B．
C．12 D
(2)(2025·河南商丘高三模拟)孪生素数(素数是只有1和自身因数的正整数)猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是()
A．425 B．
C．328 D
(1)B(2)D[(1)画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为824＝13．故选
(2)不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的取法种数为C82＝
记事件A表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，
则事件A包含的样本点有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4个，
故抽取的2个数能够构成孪生素数的概率是P(A)＝428＝17．故选D
反思领悟求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．
巩固迁移1(1)(2024·徐州期末)将扑克牌4种花色的K，Q共8张洗匀，若甲已抽到了2张K后未放回，则乙抽到2张Q的概率为()
A．16 B．
C．23 D
(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．
(1)B(2)366[(1)甲抽到了2张K
则乙从余下6张牌中任取2张有C6
抽到2张Q有C4
∴乙抽到2张Q的概率为C42C62＝615
(2)从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为C83＝
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为356．
【教用·备选题】
(2025·天津和平高三模拟)一个盒子中装有4个编号依次为1，2，3，4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y．
(1)写出试验的样本空间；
(2)设事件A＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B＝“编号XY”，分别求事件A，B，AB发生的概率P(A)，P(B)，P(AB)．
[解](1)由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)由题意可知事件A＝{(1，1)，(2，1)，(1，2)}，共3个结果，故P(A)＝316
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个结果，故P(B)＝616＝3
事件AB包含的结果有(1，2)，故P(AB)＝116
考点二事件独立性的判断
概念
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，